Στατιστική Εκτιμητική

Η εκτιμητική ασχολείται με το πώς χρησιμοποιούμε ένα δείγμα για να προσεγγίσουμε τις άγνωστες παραμέτρους ενός πληθυσμού. Αυτό το σχεδιάγραμμα συγκεντρώνει τη βασική θεωρία και τους τύπους για τις ιδιότητες των εκτιμητών, τις μεθόδους εκτίμησης και τα διαστήματα εμπιστοσύνης.

Εκτιμητές και Ιδιότητες

• Εκτιμητής: συνάρτηση του δείγματος, $\hat{\theta }=T(X_1,\dots ,X_n)$
• Αμεροληψία: $E(\hat{\theta })=\theta$
• Μεροληψία: $b(\hat{\theta })=E(\hat{\theta })-\theta$
• Μέσο τετραγωνικό σφάλμα: $MSE(\hat{\theta })=Var(\hat{\theta })+b{(\hat{\theta })}^2$
• Συνέπεια: ο εκτιμητής συγκλίνει κατά πιθανότητα στο $\theta$ καθώς $n\to \infty$

Αποτελεσματικότητα και Επάρκεια

• Πληροφορία Fisher: $I(\theta )=-E\left[\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\ln f(X;\theta )\right]$
• Ανισότητα Cramér–Rao: για αμερόληπτο εκτιμητή, $Var(\hat{\theta })\ge 1/(nI(\theta ))$
• Αποτελεσματικός εκτιμητής: πιάνει το κάτω φράγμα Cramér–Rao
• Επαρκής στατιστική: κριτήριο παραγοντοποίησης Neyman
• Rao–Blackwell και Lehmann–Scheffé: από επαρκή στατιστική σε αμερόληπτο εκτιμητή ελάχιστης διακύμανσης

Μέθοδοι Εκτίμησης

• Μέθοδος ροπών: εξισώνουμε τις ροπές του δείγματος με τις θεωρητικές
• Μέγιστη πιθανοφάνεια: το $\hat{\theta }$ που μεγιστοποιεί την $L(\theta )=\prod f(x_i;\theta )$
• Εξίσωση πιθανοφάνειας: $\frac{\partial }{\partial \theta }\ln L(\theta )=0$
• Αναλλοίωτη ιδιότητα: αν $\hat{\theta }$ είναι ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας του $\theta$, τότε $g(\hat{\theta })$ είναι του $g(\theta )$

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

• Ερμηνεία: σε επαναλαμβανόμενα δείγματα, το $100(1-\alpha )\%$ των διαστημάτων περιέχει την παράμετρο
• Μέση τιμή, γνωστή διακύμανση: $\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$
• Μέση τιμή, άγνωστη διακύμανση: $\bar{x}\pm t_{n-1,\alpha /2}s/\sqrt{n}$
• Αναλογία: $\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$
• Διακύμανση: με βάση την κατανομή ${\chi }_{n-1}^2$