Γραμμική Άλγεβρα

Η γραμμική άλγεβρα είναι η γλώσσα πίσω από την παλινδρόμηση, την πολυμεταβλητή ανάλυση και τις περισσότερες μεθόδους της στατιστικής. Αυτό το σχεδιάγραμμα συγκεντρώνει τη βασική θεωρία και τους τύπους που χρησιμοποιούνται πιο συχνά.

Πίνακες και Πράξεις

• Πρόσθεση και βαθμωτός πολλαπλασιασμός: στοιχείο προς στοιχείο
• Γινόμενο πινάκων: ορίζεται όταν οι στήλες του πρώτου ισούνται με τις γραμμές του δεύτερου, γενικά δεν είναι αντιμεταθετικό
• Ανάστροφος: ${(AB)}^T=B^T{A}^T$
• Αντίστροφος: υπάρχει μόνο για τετραγωνικούς πίνακες με μη μηδενική ορίζουσα, ${(AB)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• Ίχνος: άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$

Ορίζουσες

• Πίνακας 2×2: $ad-bc$
• Ανάπτυγμα Laplace: κατά μια γραμμή ή στήλη για μεγαλύτερους πίνακες
• Ιδιότητες: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$, $\det (A^T)=\det (A)$
• Ιδιάζων πίνακας: ορίζουσα ίση με μηδέν, δεν αντιστρέφεται

Γραμμικά Συστήματα και Βαθμός

• Μορφή $Ax=b$: λύνεται με απαλοιφή Gauss ή με τον κανόνα του Cramer
• Βαθμός: πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών
• Συμβατότητα: το σύστημα έχει λύση όταν ο βαθμός του $A$ ισούται με τον βαθμό του επαυξημένου πίνακα

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

• Ορισμός: $Av=\lambda v$, με $v\ne 0$
• Χαρακτηριστική εξίσωση: $\det (A-\lambda I)=0$
• Άθροισμα και γινόμενο: το άθροισμα των ιδιοτιμών ισούται με το ίχνος, το γινόμενο με την ορίζουσα
• Συμμετρικοί πίνακες: πραγματικές ιδιοτιμές και ορθογώνια ιδιοδιανύσματα
• Θετικά ορισμένος πίνακας: όλες οι ιδιοτιμές θετικές, όπως ο πίνακας συνδιακύμανσης