Περιγραφική Στατιστική και Έλεγχοι Υποθέσεων

Βασική θεωρία και τυπολόγιο για μέτρα θέσης, διασποράς και σχήματος, και για ελέγχους σε μέσες τιμές, αναλογίες, διακυμάνσεις και κατηγορικά δεδομένα.

Σύντομα διαθέσιμο

Η περιγραφική στατιστική συνοψίζει ένα δείγμα με λίγους αριθμούς και γραφήματα. Ο έλεγχος υποθέσεων αποφασίζει, με βάση το ίδιο δείγμα, αν τα δεδομένα συμφωνούν με έναν ισχυρισμό για τον πληθυσμό. Αυτό το σχεδιάγραμμα συγκεντρώνει τη βασική θεωρία και τους τύπους και των δύο.

Μέτρα Θέσης

Μέση τιμή: $\overline{x} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$
Διάμεσος: η μεσαία τιμή των διατεταγμένων παρατηρήσεων
Επικρατούσα τιμή: η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα
Τεταρτημόρια: $Q_{1}$ , $Q_{2}$ (η διάμεσος) και $Q_{3}$

Μέτρα Διασποράς

Εύρος: $R = x_{(n)} - x_{(1)}$
Ενδοτεταρτημοριακό εύρος: $I Q R = Q_{3} - Q_{1}$
Διακύμανση δείγματος: $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2}$
Τυπική απόκλιση: $s = \sqrt{s^{2}}$
Συντελεστής μεταβλητότητας: $C V = s / \overline{x}$

Μέτρα Σχήματος

Ασυμμετρία: $g_{1} = m_{3} / m_{2}^{3 / 2}$ , θετική όταν η ουρά είναι δεξιά
Κύρτωση: $g_{2} = m_{4} / m_{2}^{2} - 3$ , θετική όταν οι ουρές είναι βαρύτερες από της κανονικής

Γραφήματα

Ιστόγραμμα: δείχνει το σχήμα της κατανομής
Θηκόγραμμα: κουτί από $Q_{1}$ ως $Q_{3}$ , γραμμή στη διάμεσο, μουστάκια έως $1,5 \cdot I Q R$ , και πιο έξω οι ακραίες τιμές
Διάγραμμα διασποράς: δείχνει τη σχέση δύο μεταβλητών

Βασικές Έννοιες

Μηδενική και εναλλακτική υπόθεση: $H_{0}$ και $H_{1}$ , με αμφίπλευρη ή μονόπλευρη εναλλακτική
Στατιστική συνάρτηση ελέγχου: η ποσότητα από το δείγμα πάνω στην οποία παίρνουμε την απόφαση
Περιοχή απόρριψης: οι τιμές της στατιστικής συνάρτησης για τις οποίες απορρίπτουμε τη $H_{0}$
Επίπεδο σημαντικότητας: $α$ , συνήθως 0,05 ή 0,01
p-value: η πιθανότητα, υπό τη $H_{0}$ , να πάρουμε τιμή τόσο ακραία ή ακραιότερη από την παρατηρηθείσα· απορρίπτουμε τη $H_{0}$ όταν $p < α$

Σφάλματα και Ισχύς

Σφάλμα τύπου I: $α = P (απόρριψη H_{0} | H_{0} αληθής)$
Σφάλμα τύπου II: $β = P (μη απόρριψη H_{0} | H_{1} αληθής)$
Ισχύς: $1 - β$ , αυξάνεται με το μέγεθος του δείγματος
Λήμμα Neyman–Pearson: ο έλεγχος λόγου πιθανοφανειών είναι ο ισχυρότερος για δοσμένο $α$

Μέση Τιμή και Αναλογία

Έλεγχος z, γνωστή διακύμανση: $Z = \frac{\overline{x} - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}$
Έλεγχος t, άγνωστη διακύμανση: $T = \frac{\overline{x} - μ_{0}}{s / \sqrt{n}}$ , με $n - 1$ βαθμούς ελευθερίας
Δύο ανεξάρτητα δείγματα: έλεγχος t με συγκεντρωτική διακύμανση $s_{p}^{2}$
Ζευγαρωτές παρατηρήσεις: έλεγχος t στις διαφορές $d_{i}$
Αναλογία: $Z = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{p_{0} (1 - p_{0}) / n}}$

Διακύμανση και Κατηγορικά Δεδομένα

Μία διακύμανση: $χ^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{σ_{0}^{2}}$
Δύο διακυμάνσεις: $F = s_{1}^{2} / s_{2}^{2}$
Καλή προσαρμογή: $χ^{2} = \sum \frac{{(O_{i} - E_{i})}^{2}}{E_{i}}$
Ανεξαρτησία σε πίνακα συνάφειας: ίδιος τύπος, με $(r - 1) (c - 1)$ βαθμούς ελευθερίας