Πριν την Πρώτη μου Διάλεξη

Περίληψη βασικών μαθηματικών εννοιών και ιδιοτήτων που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

Αυτή η αφίσα είναι μια γρήγορη αναφορά για τη μετάβαση από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση στην εισαγωγική στατιστική. Συνοψίζει τις βασικές μαθηματικές έννοιες και ιδιότητες που καλό είναι να ξέρει ένας φοιτητής πριν μπει στην πρώτη διάλεξη στατιστικής. Παρακάτω παρατίθεται όλο το περιεχόμενό της.

Βασικές Ταυτότητες

Αλγεβρικές

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Τριγωνομετρικές

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

\sin^{2} x = \frac{\tan^{2} x}{1 + \tan^{2} x}

- 1 \leq \sin x \leq 1

- 1 \leq \cos x \leq 1

Οι γραφικές παραστάσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι περιοδικές, με τιμές που κυμαίνονται μεταξύ −1 και 1:

Λογαριθμικές & Εκθετικές

\log (x y) = \log (x) + \log (y)

\log (\frac{x}{y}) = \log (x) - \log (y)

\log x^{k} = k \cdot \log x

Ο λογάριθμος και η εκθετική είναι αντίστροφες συναρτήσεις. Ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικά $x$ και τείνει στο $- \infty$ κοντά στο μηδέν, ενώ η εκθετική παίρνει πάντα θετικές τιμές:

Όρια

Βασικά όρια

Για τον φυσικό λογάριθμο:

\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty

\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty

Για την εκθετική συνάρτηση $a^{x}$ με $a > 1$ :

\lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty

\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0

Ειδικά για τη βάση $e$ :

\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty

\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

Δύο θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0

Απροσδιόριστες μορφές

Υπάρχουν όρια που δεν μπορούν να υπολογιστούν άμεσα:

Μορφή	Προσέγγιση επίλυσης
$\frac{0}{0}$	Κανόνας L’Hôpital
$\frac{\infty}{\infty}$	Κανόνας L’Hôpital
$0 \cdot \infty$	Μη τυπική
$\infty - \infty$	Μη τυπική
$0^{\infty}$	Μη τυπική
$1^{\infty}$	$e^{\ln (\dots)}$
$\infty^{0}$	Μη τυπική

Ο κανόνας του L’Hôpital εφαρμόζεται όταν το όριό μας έχει τη μορφή $\frac{0}{0}$ ή $\frac{\infty}{\infty}$ . Σε αυτή την περίπτωση επιτρέπει τον υπολογισμό του ορίου μέσω της παραγώγου αριθμητή και παρονομαστή:

\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

Πράξεις Συνόλων

Διαγράμματα Venn

Ένωση ( $A \cup B$ ): όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο $A$ ή στο $B$ (ή και στα δύο).

Τομή ( $A \cap B$ ): τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στα δύο σύνολα.

Διαφορά ( $A - B$ ): τα στοιχεία του $A$ που δεν ανήκουν στο $B$ .

Διαφορά ( $B - A$ ): τα στοιχεία του $B$ που δεν ανήκουν στο $A$ .

Ταυτότητες Πιθανοτήτων

$\Pr (A \cup B) = \Pr (A) + \Pr (B) - \Pr (A \cap B)$
$\Pr (A) \leq \Pr (B), αν A \subseteq B$
$\Pr (A^{'}) = 1 - \Pr (A)$

Παράγωγοι

Συμβολισμός

Υπάρχουν τρεις τρόποι να συμβολίσουμε τις παραγώγους:

Συμβολισμός Lagrange: $f^{'} (x), f^{''} (x), \dots, f^{(n)} (x)$
Συμβολισμός Leibniz: $\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \dots, \frac{d^{n} y}{d x^{n}}$
Συμβολισμός Newton: $\dot{y}, \ddot{y}, \dots, f^{(n)} (x)$

Βασικές παράγωγοι

{(c)}^{'} = 0

{(x^{n})}^{'} = n \cdot x^{n - 1}

{(\sin x)}^{'} = \cos x

{(\cos x)}^{'} = - \sin x

{(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}

{(\cot x)}^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}

{(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}

{(e^{x})}^{'} = e^{x}

{(a^{x})}^{'} = a^{x} \cdot \ln a

Λογαριθμική παραγώγιση

Σκοπός: μια μέθοδος παραγώγισης χρήσιμη σε πολύπλοκες εκφράσεις με γινόμενα ή δυνάμεις. Έστω $y = f (x)$ :

Βήμα A: Λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη.

\ln (y) = \ln f (x)

Βήμα B: Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη.

\frac{d}{d x} \ln (y) = \frac{d}{d x} \ln (f (x))

Βήμα Γ: Εκτελούμε την παραγώγιση.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}

Βήμα Δ: Λύνουμε ως προς $\frac{d y}{d x}$ .

Ολοκλήρωση

Κατά παράγοντες

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) \cdot g (x) - \int g (x) f^{'} (x) d x

Ένας γενικός εμπειρικός κανόνας για την επιλογή του $f (x)$ είναι η προσέγγιση LIATE. Οι επιλογές κατατάσσονται σε φθίνουσα σειρά προτεραιότητας:

Logarithmic: Λογαριθμική συνάρτηση
Inverse trigonometric: Αντίστροφη τριγωνομετρική
Algebraic: Αλγεβρική συνάρτηση
Trigonometric: Τριγωνομετρική συνάρτηση
Exponential: Εκθετική συνάρτηση

Όταν το ολοκλήρωμα περιέχει πολλές συναρτήσεις της ίδιας κατηγορίας, η προσέγγιση LIATE δεν βοηθά. Μερικές πρακτικές συμβουλές:

Θέτουμε ως $d v$ το πιο πολύπλοκο κομμάτι.
Θέτουμε ως $u$ τη συνάρτηση της οποίας η παράγωγος $d u$ θα είναι απλούστερη.

Με αντικατάσταση

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u

όπου $u = g (x)$ και $d u = g^{'} (x) d x$ .

Παράρτημα

Σταθερές

$π \approx 3,1415 \dots$
$e \approx 2,7182 \dots$

Συχνές παρανοήσεις

Λογάριθμοι

$\ln$ : φυσικός (Νεπέριος) λογάριθμος, $\ln (x) = \log_{e} (x)$
$\log$ : δεκαδικός λογάριθμος, $\log (x) = \log_{10} (x)$

Παραγοντικά

$k! = 1 \cdot 2 \dots k$
$1! = 1$
$0! = 1$